概率统计第二章经典讲义

发布时间:2021-09-19 09:19:01

第二章 随机变量及其分布
理工大学理学院数理系 计算数学教研室田作威

§1 随机变量
一、随机变量概念的产生
在实际问题中,随机试验的结果可以用 数量来表示,由此就产生了随机变量的概念.

1. 有些试验结果本身与数值有关(本身 就是一个数). 例如,掷一颗骰子面上出现的点数; 每天从南京下火车的人数; 昆虫的产卵数;

七月份南京的最高温度;

2. 在有些试验中,试验结果看来与数 值无关,但我们可以引进一个变量来表示它 的各种结果.也就是说,把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样, 二者建立了一种对 应关系.

这种对应关系在数学上理解为定义了 一种实值函数.
e. X(e) R

?

定义 设随机试验E的样本空间为Ω={e}, X=X(e)是定义在Ω上的实值单值函数,称 X=X(e)为随机变量,简记为 r.v.。

这种实值函数与在高等数学中大家接 触到的函数一样吗? ( 1 )它随试验结果的不同而取不同的值, 因而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值. ( 2 )由于试验结果的出现具有一定的概 率,于是这种实值函数取每个值或取每个 确定范围内的值也有一定的概率.

随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.

例如,从某一学校随机选一 学生,测量他的身高. 我们可以把可能的 身高看作随机变量X,

然后我们可以提出关于X的各种问题.
如 P(X>1.7)=? P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=?

二、引入随机变量的意义
有了随机变量,随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如:单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示,它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} ? { X {没有收到呼叫}

? 1}

{X= 0} ?

随机变量概念的产生是概率论发展 史上的重大事件. 引入随机变量后,对 随机现象统计规律的研究,就由对事件 及事件概率的研究扩大为对随机变量及 其取值规律的研究.
事件 事件概率 随机变量 取值规律

三、随机变量的分类 随机变量通常分为两类: 所有取值可以逐个 离散型随机变量 一一列举 随 如“取到次品的个数”, 机 “收到的呼叫数”等. 变 全部可能取值不仅 量 无穷多,而且还不能 一一列举,而是充满 连续型随机变量
一个区间.

例如,“电视机的寿命”,实 际中常遇到的“测量误差”等.

随 机 变 量

离散型随机变量

连续型随机变量

这两种类型的随机变量因为都是随机变 量,自然有很多相同或相似之处;但因其取 值方式不同,又有其各自的特点.

学*时请注意它们各自的特点和描述方法.


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